Matrix 의 eigenvalue 와 eigen vector 는 다음과 같은 관계가 있다.
$A u = v u$.
여기서, eigenvalue와 eigenvector 를 일종의 matrix A에 대한 함수로 생각하고($v(A)$ and $u(A)$.) , 미분 Gradient 을 정의할 수 있다고 볼 수 있다.
문제는 이러한 미분을 일반적인 Matrix 에 대해서는 정확하게 정의하기가 어렵다는 것이다. 다만, real symmetric matrix인 경우에는 다음과 같은 정의를 할 수 있다. matrix $A_0$ 에 대해서 eigenvalue, eigenvector가 $v_0$, $u_0$라고 하자. 그러면 매우 작은 Matrix변화에 대해
$ d v = u_0^T (d A) u_0 $ 또는 $ dv/d(A_{ij}) = (u_0)_i (u_0)_j$.
$ d u = ( v_0 I - A_0) ( d A) u_0$ 또는 $ (d u)_i = ( v_0 I - A_0)_{ij} ( d A)_{jk} (u_0)_k$
와 같이 정의할 수 있다고 한다. (real symmetric matrix임에 유의.)
REF: https://www.janmagnus.nl/papers/JRM011.pdf
즉, matrix $A_0$ 가 matrix $A_0 + d A$ 로 변할 때, eigen value와 eigen vector는
$ v_0 -> v_0 + d v $,
$ u_0 -> u_0 + d u$
로 계산할 수 있다는 것이다. 하지만, 논문을 자세히 읽어보진 않았지만 아마도 degeneracy 가 없어야 한다는 조건이 붙을 것 같다.
