[퍼즐] 이상한 학교 인사

먼저 내가 접한 퍼즐 문제는 다음과 같다.

" 어떤 학교에는 이상한 인사방법이 있다. 모든 남학생들은 남학생끼리 서로에게 인사를 한 뒤, 선생님에게 인사를 한다. 한편, 모든 여학생들도 여학생들 끼리  서로에게 인사를 한 뒤,
선생님에게 인사를 한다. 마지막으로 모든 남학생들이 여학생들에게 인사하고, 여학생들도 남학생에게 인사를 한다. 이렇게 모두 900번의 인사를 한 뒤에야 수업이 시작된다. 이 학교의 여학생 수는 남학생의 2배라고 하고, 선생님은 답례를 하지 않는다고 할 때, 이 학교의 남학생 수는 얼마인가? "

원래 문제에서는 선생님이 답례를 한다는 것인지가 명확히 써 있지 않아서 헷갈렸다.

다음은 내가 변형 시켜 본 문제이다.

"다음해에 신입생들은 전통에 따라 같은 방식으로 인사를 하지만,
담임 선생님은 학생에 따라 내키는 대로 인사를 하기도 하고, 안하기도 한다.
모든 인사 수의 합이 정확히 얼마인지 모르지만, 대략 400 보다는 많고,
440 보다는 적다고 할 때, 올 해의 신입생 수는 얼마인가?"

풀이는 아래 클릭..
 두 문제에서 학생의 총 수를 x 라고 하면, 학생들의 총 인사수는,
학생들이 서로에게 한 인사 수  x*(x-1) 과, 학생들이 선생님께 한 인사수 x 의 합인,
x(x-1)+x=x^2 이 된다. 따라서, 첫번째 문제에서는 900=30*30 으로 부터, 학생수가 30명임을 알 수 있고, 남학생과 여학생의 비율로부터 남학생이 10명, 여학생이 20명임을 알 수 있다.

두 번째 문제에서는 선생님의 답례수를 y 라고 할 때, 전체 인사수는 x^2+y가 된다. 이 때, y는 x보다 작아야 한다. 20^2=400 이고 21^2=441 이므로,
400< x^2+y <440 과 y<=x 을 만족하는 수는, x=20 뿐이다.

아마도 이 문제는 다양하게 변형할 수 있을 것 같다. 학생수를 소수가 되도록 한다던가,
다른 10의 배수가 아닌 다른 수로 하면, 더 어려워 질 것이다.