양자역학적으로 서로 entangle 되어 있는, 예를 들어 두 개의 전자가 total spin zero 인 상태 $|S=0>=1/sqrt(2)(|up,down>-|down,up>)$ 에서 두 입자를 서로 다른 방향으로 보내어 A와 B에서 관찰한다고 생각해보자. 이 때, 두 관찰의 시간 차이동안 빛의 속도로 정보를 보내도 영향을 미치지 못할 정도로 A와 B는 매우 멀리 떨어져 있다. 양자 역학적으로는 A와 B의 측정 결과는 아무리 멀리 떨어져 있더라도 서로 관련이 있어 한 입자의 측정 결과는 입자 자체의 성질이 아니고 다른 입자와 함께 떼어 놓고 생각할 수 없다. 반면, 고전 역학적으로는 A와 B의 측정 결과는 서로에게 영향을 미칠 수 없고, A에서 관측된 결과는 오직 그 입자가 원래 가지고 있던 성질에 의해 결정된다.
좀 더 구체적으로, A에서 실험의 관측값이 오직 두가지만 가능한, A0와 A1 이라는 두가지 실험중 하나를 랜덤하게 한다고 하자. 입자에 대해 A0 실험을 하면 +1 이거나 -1 인 결과를 얻는다. 마찬가지로 A1 실험에 대해서도 +1 이거나 -1 인 결과를 얻는다.
만약, 입자의 관측 결과가 입자 자체의 성질에 의한 것이라면, 입자는
(1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1) 의 4가지 성질을 가지고 있을 수 있다. 즉, 원래 입자가 (1,-1)이라는 성질을 가지고 있었다면 A0 실험을 할 경우 1 , A1 실험을 할 경우 -1 이라는 관찰을 하게 될 것이다. 따라서, A에서 입자가 가지는 성질을 (a0,a1) 이라고 나타낼 수 있다.
이 때, 입자가 4가지 성질 중 어느 것을 가지더라도, a0+a1 이나 a0-a1 중 하나는 반드시 0이 되고, 다른 하나는 반드시 +/- 2 값을 가지게 된다.
마찬가지로 B에 있는 입자의 성질도 (b0,b1)이라고 나타낼 수 있다.
두 입자의 성질의 다음과 같은 조합을 생각해 보자.
S = b0(a0 +a1)+b1(a0-a1) = a0*b0 + a1*b0 + a0*b1 -a1*b1
(a0+a1) 과 (a0-a1) 중 하나는 반드시 0 이 되고, 나머지 하나는 +/- 2가 되고, b0와 b1 은 +/-1의 값을 가지므로, S의 값은 +2 나 -2 가 될 수 밖에 없다.
이것은 입자 한 쌍에 대한 결과이다. 실험을 반복하여 많은 수의 실험 결과에 대한 평균을 낸다고 하자.
S의 평균 값을 <S >으로 나타내면,
<S> = < A0*B0> + < A1*B0> +< A0*B1> - <A1*B1>
으로 쓸 수 있다. 여기서, < A0*B0>는 A0와 B0의 실험을 했을 때의 평균값을 나타낸다.
예를 들어 두 입자가 A0와 B0 실험에 대해 a0,b0라는 성질을 가지고 있을 경우,
A0*B0 의 값은 단순히 a0*b0 로 두 값의 곱이 된다.
만약 많은 수의 입자 쌍에 대해 실험을 하여 평균을 내면,
하나의 입자쌍에 대해 S 는 +/- 2를 가질 것이므로,
S의 평균값은 -2 에서 +2 사이에 있게 될 것이다.
이것이 CHSH 부등식( -2<= S <= 2 ) 이고, 고전역학이 맞다고 반드시 만족시켜야하는 조건이다.
(실제로는 하나의 입자에 대해서는 한가지 종류의 실험만이 이루어 질 것이다.
예를 들어 첫번째 입자 쌍에 대해 A0와 B1이라는 실험을 하면, a1과 b0값은 측정이 안된다.
하지만, 많은 수의 입자에 대해 실험을 반복할 경우, A0 실험의 평균값 < A0> 는 모든 입자에 대한 a0 의 평균값에 가깝게 될 것이다. 다른 실험의 평균값의 경우도 마찬가지.)
한편, 양자역학적으로 얽힌 상태의 경우, 예를 들어 $|S=0>=1/sqrt(2)(|up,down>-|down,up>)$의 경우 A0*B0의 실험 값은 expectation value, $<S=0| A0*B0| S=0>$
에 의해 결정된다. 이것은 다음과 같이 계산할 수 있다.
<S=0|A0*B0|S=0> = (1/2)*(up|A0|up)*(down|B0|down)
-(1/2)*(up|A0|down)*(down|B0|up)
-(1/2)*(down|A0|up)*(up|B0|down)
+(1/2)*(down|A0|down)*(up|B0|up)
즉, 양자역학의 경우는 결과가 단순히 곱으로 분리되지 않는다.
특별히, 다음과 같은 실험을 준비한다고 하자.
A0 : z축. 즉 ( 0,0, 1) 방향으로의 spin 값 측정
A1 : x축, 즉 ( 1,0,0 ) 방향으로의 spin 값 측정
B0 : 45도 축, 즉 (-1,0,-1) 방향 으로의 spin값 측정
B1: -45도 축 , 즉 (1,0,-1)방향 으로의 spin값 측정
양자역학적으로는 각 실험에 다음과 같은 operator를 정해주는 것에 해당한다.
A0 = sigma_z,
A1 = sigma_x
B0 = -1/sqrt(2)( sigma_x+sigma_z)
B1= 1/sqrt(2)( sigma_x-sigma_z)
이 경우에 계산을 해보면
< S=0| A0*B0| S=0> = < S=0| A0*B1| S=0> =< S=0| A1*B0| S=0>= 1/sqrt(2)
< S=0| A1*A1 |S=1> = -1/sqrt(2)
으로
S의 평균값은 (1/sqrt(2)+1/sqrt(2)+1/sqrt(2)-(-1/sqrt(2)))= 2*sqrt(2) 가 예상되게 된다. 이것은 고전역학이 만족시켜야하는 CHSH 부등식( -2 <= S <= 2)을 분명히 만족시키지 않는다. 따라서, <S> 의 값을 측정한 결과가 양자역학의 예상과 일치한다면, 고전역학은 틀릴 수 밖에 없다.
photon 을 이용한 실험결과 <S>의 값이 고전적인 CHSH 부등식을 만족시키지 않고 양자역학적인 예측값과 일치하는 것을 확인할 수 있다고 한다.
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