Puzzle: 구름의 그림자

구름의 그림자는 실제 구름의 크기와 비교할 때 더 클까,작을까, 아니면 같을까?
다음 중 어느 것이 옳을까?

(1) 태양으로 부터 오는 빛은 넓게 퍼진다. 따라서, 구름의 그림자는 실제 구름보다 더 클 것이다.

(2) 태양은 매우 멀리 떨어져 있기 때문에 지구에 오는 빛은 거의 평행하게 들어 온다. 따라서, 구름의 그림자는 실제의 크기와 같을 것이다.

(3) 태양은 작아 보이지만, 실제로는 매우 크다. 따라서, 구름의 그림자는 실제 구름보다 작을 것이다.

여기서, 빛은 직진한다고 생각하고, 빛의 반사, 산란등에 의한 효과는 무시하자.
그림자는 태양에서 오는 어떤 빛도 도달하지 않는 부분을 말한다.
또한, 위도에 따른 효과도 고려하지 말고, 정오에 태양이 머리위에 있는 경우만 생각하자.

하늘에 구름이 있지만, 지상에 구름의 그림자가 생기지 않는 경우가 있을까?
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먼저 구름위에 비친 태양 빛이 퍼지는 것처럼 보이는 것은 원근에 의한 효과이다.
예를 들어 평행하게 직선으로 놓여진 철길이라도 멀리에서 보면, 한점에서 퍼져 나오는
것처럼 보인다. 마찬가지로 직선으로 빛이 지나가더라도 관찰자를 중심으로 한쪽은
빛이 한 점에서 퍼져나오는 것처럼, 반대쪽은 한 곳으로 빛이 모이는 것처럼 보인다.
따라서, 빛이 평행하게 오는 한
구름의 그림자가 실제 구름보다  커지지는 않는다. (빛이 사선으로 내리쬐지 않는한.)

이해하기 쉽도록 전등과 물체, 그리고 스크린에 생기는 물체의 그림자를 생각해보자.
극단적인 경우를 생각해서, 광원보다 매우 큰 물체의 경우에는 언제나 스크린에 생기는 그림자는 실제 크기와 같거나 더 클 것임을 알 수 있다. (이때는 빛이 평행하지 않다.)
극단적으로 물체의 크기가 매우 작은 경우에는, 스크린이 물체의 바로 뒤에 있을 때를 제외하면 그림자의 크기는 언제나 실제 크기보다 작을 것이다. 심지어, 광원에 물체를 가깝게 두고, 스크린과의 거리가 먼 경우에는 아예 그림자가 생기지 않는 경우를 생각할 수 있다.

여기서 중요한 것은 광원의 크기를 고려하면, 우리가 보는 그림자는 한 점에서 오는 빛에 의한 그림자가 아니라, 여러점에서 오는 빛의 중첩이라는 것이다. 즉, 스크린의 어떤 점에 대해, 광원에서 오는 빛중 일부는 그림자를 만들 것이고, 일부는 그림자를 만들지 않는다. 모든 빛이 도달하지 않는 곳이 가장 어두울 것이고, 어떤 부분은 덜 어둡거나, 밝을 것이다.

태양은 지구보다 크고 멀리 떨어져 있으므로 구름의 그림자는 언제나
실제 구름의 크기보다 작다는 것을 알 수 있다.

어림계산을 해보자. 지구에서 태양까지의
거리는 대략 150 million km 이고, 태양의 지름은 0.7 million km 이다. 따라서,지구에서 보는 태양의 시야각은 대략 0.25 도 정도가 된다. ( tan(theta)~0.7/150 ) 지구의 크기는 태양까지의 거리나 태양의 크기에 비해 매우 작으므로, 지상으로부터의 높이 차이와 상관없이
태양의 시야각은 대략 0.25 라고 볼 수 있다. 지상위에서의 높이 차이는 구름의 높이나 태양까지의 거리에 비해 작을 것이므로, H:150 ~ (구름의 크기): 0.7 인 관계로 부터,
H ~ (구름의 크기)*4 를 만족 시킬 때 지상에서는 구름의 그림자가 한 점으로 나타나게 된다. 만약 구름의 높이가 H > (구름의 크기)*4 이라면, 지상에서 구름의 그림자는 나타나지 않게 된다.