Puzzle: 구름의 그림자

구름의 그림자는 실제 구름의 크기와 비교할 때 더 클까,작을까, 아니면 같을까?
다음 중 어느 것이 옳을까?

(1) 태양으로 부터 오는 빛은 넓게 퍼진다. 따라서, 구름의 그림자는 실제 구름보다 더 클 것이다.

(2) 태양은 매우 멀리 떨어져 있기 때문에 지구에 오는 빛은 거의 평행하게 들어 온다. 따라서, 구름의 그림자는 실제의 크기와 같을 것이다.

(3) 태양은 작아 보이지만, 실제로는 매우 크다. 따라서, 구름의 그림자는 실제 구름보다 작을 것이다.

여기서, 빛은 직진한다고 생각하고, 빛의 반사, 산란등에 의한 효과는 무시하자.
그림자는 태양에서 오는 어떤 빛도 도달하지 않는 부분을 말한다.
또한, 위도에 따른 효과도 고려하지 말고, 정오에 태양이 머리위에 있는 경우만 생각하자.

하늘에 구름이 있지만, 지상에 구름의 그림자가 생기지 않는 경우가 있을까?
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먼저 구름위에 비친 태양 빛이 퍼지는 것처럼 보이는 것은 원근에 의한 효과이다.
예를 들어 평행하게 직선으로 놓여진 철길이라도 멀리에서 보면, 한점에서 퍼져 나오는
것처럼 보인다. 마찬가지로 직선으로 빛이 지나가더라도 관찰자를 중심으로 한쪽은
빛이 한 점에서 퍼져나오는 것처럼, 반대쪽은 한 곳으로 빛이 모이는 것처럼 보인다.
따라서, 빛이 평행하게 오는 한
구름의 그림자가 실제 구름보다  커지지는 않는다. (빛이 사선으로 내리쬐지 않는한.)

이해하기 쉽도록 전등과 물체, 그리고 스크린에 생기는 물체의 그림자를 생각해보자.
극단적인 경우를 생각해서, 광원보다 매우 큰 물체의 경우에는 언제나 스크린에 생기는 그림자는 실제 크기와 같거나 더 클 것임을 알 수 있다. (이때는 빛이 평행하지 않다.)
극단적으로 물체의 크기가 매우 작은 경우에는, 스크린이 물체의 바로 뒤에 있을 때를 제외하면 그림자의 크기는 언제나 실제 크기보다 작을 것이다. 심지어, 광원에 물체를 가깝게 두고, 스크린과의 거리가 먼 경우에는 아예 그림자가 생기지 않는 경우를 생각할 수 있다.

여기서 중요한 것은 광원의 크기를 고려하면, 우리가 보는 그림자는 한 점에서 오는 빛에 의한 그림자가 아니라, 여러점에서 오는 빛의 중첩이라는 것이다. 즉, 스크린의 어떤 점에 대해, 광원에서 오는 빛중 일부는 그림자를 만들 것이고, 일부는 그림자를 만들지 않는다. 모든 빛이 도달하지 않는 곳이 가장 어두울 것이고, 어떤 부분은 덜 어둡거나, 밝을 것이다.

태양은 지구보다 크고 멀리 떨어져 있으므로 구름의 그림자는 언제나
실제 구름의 크기보다 작다는 것을 알 수 있다.

어림계산을 해보자. 지구에서 태양까지의
거리는 대략 150 million km 이고, 태양의 지름은 0.7 million km 이다. 따라서,지구에서 보는 태양의 시야각은 대략 0.25 도 정도가 된다. ( tan(theta)~0.7/150 ) 지구의 크기는 태양까지의 거리나 태양의 크기에 비해 매우 작으므로, 지상으로부터의 높이 차이와 상관없이
태양의 시야각은 대략 0.25 라고 볼 수 있다. 지상위에서의 높이 차이는 구름의 높이나 태양까지의 거리에 비해 작을 것이므로, H:150 ~ (구름의 크기): 0.7 인 관계로 부터,
H ~ (구름의 크기)*4 를 만족 시킬 때 지상에서는 구름의 그림자가 한 점으로 나타나게 된다. 만약 구름의 높이가 H > (구름의 크기)*4 이라면, 지상에서 구름의 그림자는 나타나지 않게 된다.

범죄수학( 리스 하스아우트)

범죄 수학

리스 하스아우트 지음 | 오혜정 옮김 | 남호영 감수 | GBRAIN | 2010년 07월 23일 출간

추리 소설과 수학을 이상적으로 결합한 책이다. 마치 encyclopedia Brown 처럼, 검사인 아버지의 사건을 아들인 라비가 수학적 지식으로 도움을 주는 형식이다. 사건에 대한 짧은 글과 중요한 내용을 수학문제로 다시 짧게 간추려준 다음, 수학 문제의 답과 사건의 해결방법을 알려준다. 그리고, 나온 수학적 내용을 좀 더 깊이 있게 설명하기도 한다. 

전체적인 문제의 수준은 고등학생이상 (경우에 따라서는  대학생 이상) 이지만, 간단한 대수나 논리 문제는 중학생도 가능할 것으로 보인다. 이전의 짧은 콩트 형식의 추리 퀴즈나 퍼즐들에 비해 난이도가 높은 편이지만, 상당히 재미있게 읽을 수 있었다. 어떤 문제는 문제에 주어진 정보가 너무 부족한 것 같은데도, 답을 알수 있다는 것이 놀랍고, 어떤 경우는 문제의 답들이 상식적인 예상을 벗어나는 놀라운 경우가 많았다. 

목차

추천의 글
서문
감사의 말

시커모어가에서의 살인 사건
수박을 거래하면서 생긴 일
그랜드캐니언의 흰머리 독수리 가족
농구 선수들의 조편성 속임수
월석 절도 미수 사건
듀보브 연구소의 보안 시스템
카지노에서 일어난 살인 사건
경주마 순위 매기기
볼링 평균 점수
필름 속 두 쇠공
샨카 화학약품회사에서 생긴 불운
퇴학당할 뻔하다
도심 속 숲
폭설이 내린 오크가의 아침

결론
찾아보기 - 문제와 관련하여
역자의 글

Brain teaser: Hand shakes

Q: Suppose you and your wife meet two other couples.  While greeting,  they shake hands with each other. (So, there are 6 people). But, a husband does not shake hands with his own wife.  After greeting, suppose you asks other people how many times did they hand shake. Surprisingly, all of them (5 people including your wife)  answers differently. In that case, what is the number of hand shakes of your wife?

    당신과 당신의 아내가 다른 2쌍의  부부를 만났다고 하자. (즉, 6명이 만났다.) 인사를 하면서 각자 악수를 한다음, 당신이 모두에게( 당신의 부인을 포함한 5명에게) 몇번이나 악수를 했는지 물었다고 하자.  단, 부부 끼리는 서로 악수를 하지 않는다. 놀랍게도 모두들 다른 숫자를 말했다고 한다면, 이 때 당신의 부인은 몇번 악수를 했을까?  (문제에 주어진 조건은 충분하다. )

Brain teaser: '50' game, 50 게임.

Q: 두명이 번갈아가며 숫자를 부르는 게임을 하는데, '50'을 부르는 사람이 이긴다.
    단, 규칙은 처음 시작할 때는 1-10 까지의 숫자만 부를 수 있고, 그 이후에는 상대방이
    부른 숫자보다 1에서 10이 더 큰 숫자만 부를 수 있다는 것이다.
    예를 들어 상대방이 '9' 를 부른 경우 , '10-19' 까지의 숫자만 부를 수 있다.
    이 게임에서 먼저 시작하는 것이 유리할까, 나중에 시작하는 것이 유리할까?
    반드시 게임에 이길 수 있는 전략이 있을까?

Brain Teaser: 남자아이의 비율

Q: 어떤 도시에 아이가 없는 10만쌍의 부부가 있다.
    이 도시 사람들은 남자 아이를 선호하여, 적어도 한명의 남자 아이를 원한다.
    그래서, 매년 모든 남자 아이가 없는 부부는 한명씩의 아이를 낳는데, 남자 아이가
    태어날 때 까지 계속 낳다가 남자 아이가 생기면, 더이상 아이를 낳지 않는다.
    예를 들어 어떤 가족의 아이가 5명 이라면,
    4명의 딸과 1명의 아들이 있거나, 5명의 딸이 있고
    앞으로 아이를 더 낳을 계획이 있는 것이다.
    남자 아이와 여자 아이가 태어날 확률은 같다고 하자.
    어떤 연도(t)의 마지막에, 아이들 중 남자 아이의 비율을 p(t) 라고 할 때
     시간이 지남에 따라 이 비율은 어떻게 변해 가는가?

Brain teaser: weighing marbles/coins 여러개의 코인중 무게가 다른 하나 찾기

Q: 이번에는 구슬 대신 코인이 90개가 있는데, 89개는 동일하고
    하나만 무게가 다르지만, 그것이 더 무거운지 가벼운지는 모른다.
    저울을 한번 잴 때마다 100달러가 든다고 할 때,
    무게가 다른 코인을 찾고, 그것이 무거운지 가벼운지를 알아내기위해 필요한
    최대 비용을 최소로 하는 방법은 무엇일고, 이 때의 최대 비용은 얼마일까?
 

Brain teaser: weighing 12 marbles/coins 12 구슬중 무게가 다른 하나 찾기

Q1: 12개의 똑같아 보이는 구슬이 있는데, 오직 하나만이 무게가 살짝 다르다.
    더 무거운지 더 가벼운지는 모른다. 저울을 오직 3번만 재서, 무게가 다른 하나를 찾고,
    더 무거운지 가벼운지를 알아내라.

    There are 12 marbles which have the same look.  Among them, only one have
    different mass but it is not known whether it is heavier or lighter.
    Find odd one  by only weighing balance up to 3 times and find out
    whether it is lighter or heavier.

Brain Teaser: boy or girl?

Q: I met a man with two children and I know one of them is a boy.
   What is the probability that the other children is also a boy?

   If I know one boy's birthday is Tuesday,
   what is the probability that the other children is also a boy?

   아이가 둘인 사람을 만났는데, 그 중 적어도 한명은 남자라는 것을 안다고 하자.
   이 때, 다른 아이도 남자아이일 확률은?
   만약, 남자애가 화요일에 태어났다는 것을 안다면, 다른 아이가 남자아이일 확률은?

[퍼즐] 잘못된 주소 또는 엉뚱한 모자 문제

여기에 5개의 목적지가 다른 편지와 각각의 주소가 적힌 편지 봉투 5개가 있다.
실수로 모든 편지를 잘못된 주소로 보낼 경우의 수는 몇인가?

변형된 다른 문제는 7개의 모자와 7명의 모자 주인이 있는데, 모든 모자 주인들이
엉뚱한 모자를 가져갈 경우의 수는 몇인가?

이 문제를 처음 접한 지는 꽤 되었는데,
이것에 교란순열(derangement)이라는 수학용어가 있었다.
(예를 들어 n개가 모두 잘못된 위치로 놓이는 방법은 !n 으로  쓴다.)

이 문제의 답을 스스로 생각해 내는 것은 항상 헷갈린다.

[퍼즐] 이상한 학교 인사

먼저 내가 접한 퍼즐 문제는 다음과 같다.

" 어떤 학교에는 이상한 인사방법이 있다. 모든 남학생들은 남학생끼리 서로에게 인사를 한 뒤, 선생님에게 인사를 한다. 한편, 모든 여학생들도 여학생들 끼리  서로에게 인사를 한 뒤,
선생님에게 인사를 한다. 마지막으로 모든 남학생들이 여학생들에게 인사하고, 여학생들도 남학생에게 인사를 한다. 이렇게 모두 900번의 인사를 한 뒤에야 수업이 시작된다. 이 학교의 여학생 수는 남학생의 2배라고 하고, 선생님은 답례를 하지 않는다고 할 때, 이 학교의 남학생 수는 얼마인가? "

원래 문제에서는 선생님이 답례를 한다는 것인지가 명확히 써 있지 않아서 헷갈렸다.

다음은 내가 변형 시켜 본 문제이다.

"다음해에 신입생들은 전통에 따라 같은 방식으로 인사를 하지만,
담임 선생님은 학생에 따라 내키는 대로 인사를 하기도 하고, 안하기도 한다.
모든 인사 수의 합이 정확히 얼마인지 모르지만, 대략 400 보다는 많고,
440 보다는 적다고 할 때, 올 해의 신입생 수는 얼마인가?"

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