문제1: 길이가 1인 막대를 임의로(즉, uniform probability로) 2 조각으로 나눌 때,
왼쪽 부분의 길이의 평균은 얼마일까?
문제2: 문제 1과 같은 조건에서, 2 조각중 길이가 가장 짧은 조각의 평균 길이와 길이가 가장 긴 조각의 평균 길이는 각각 얼마일까?
문제3: 길이가 1인 막대를 임의로(즉, uniform probability로) 3 조각으로 나눌 때,
가장 긴 조각의 평균 길이는 얼마일까? 가장 짧은 조각의 평균 길이는?
여기서 막대를 조각으로 나누는 것은 하나, 또는 두개의 임의의 점을 찍는 것과 같다고 생각할 수 있다.
Q1: There is a stick with length 1. If you randomly divide the stick into two pieces,
what is the average length of the left part ?
Q2: There is a stick with length 1. If you randomly divide the stick into two pieces,
what is the average length of the longest part ?
Q3: There is a stick with length 1. If you randomly divide the stick into three pieces,
what is the average length of the longest part ?
(A1): 이 문제의 경우는 대칭을 생각할 때 왼쪽과 오른쪽의 average가 같아야한다.
따라서, 왼쪽 부분의 평균 길이는 1/2 이 된다. 마찬가지로 오른쪽도 1/2이 된다.
수학적으로는 선분 (0,1) 을 두 부분으로 나누는 점의 위치를 x 라고 할 때,
왼쪽 부분의 길이는 x, 오른쪽 부분의 길이는 (1-x)가 된다.
x 는 (0,1)사이의 임의의 값이므로, 확률밀도 P(x)=1 이다. ( \int_0^1 dx P(x)=1).
따라서 평균값은
<x>= \int_0^1 dx x =1/2
(A2): (A1)의 풀이와 같이 생각할 때,
0<x<1/2일 때는 긴 부분의 길이는 (1-x) 이고,
1/2<x<1 일 때는 긴 부분의 길이는 x 이다. 따라서, 긴 부분의 길이의 평균은
<x> =\int^1_{1/2} dx x +\int^{1/2}_0 dx (1-x) =3/4.
Let us consider marker x in position between (0,1).
When x>1/2, the length of longer part is x with probability dx.
When x<1/2, the length of longer part is (1-x) with probability dx.
Thus, <x> =\int^1_{1/2} dx x +\int^{1/2}_0 dx (1-x) =3/4.
가능한 길이를 바꾸어 가며 가능한 경우의 수를 세는 방법이 있다.)
(another solution to Q2)
Suppose we mark '2 n' points on the stick in equal length.
Thus, there are (2n+1) segments. The probability of choice of one division is 1/(2 n).
For the division of length (2 n)/(2 n+1) and 1/(2 n+1), there are two cases.
For the division of length (2 n-1)/(2n+1) and 2/(2n+1), there are two cases.
and so on.
For the division of length (n+1)/(2n+1) and n/(2n+1), there are two cases.
Thus the average of longer stick length is
(2n)/(2n+1)*1/(2n)*2+ (2n-1)/(2n+1)*1/(2n)*2+... + (n+1)/(2n+1)*1/(2n)*2
=2/(2n)/(2n+1)*[ 2n+ (2n -1)+... (n+1)]
= n(3n+1)/(2n)/(2n+1)
In the large n limit, it becomes 3/4.
(A3) 답은 긴 부분의 평균은 11/18, 짧은 부분의 평균은 1/9.
the answer for the average of longest part is 11/18,
shortest part is 1/9.
그러면, (x,y) 는 위 그림가로와 세로축을 x와 y축으로 볼 때
파란 부분은 (x+y>1 이기 때문에) 허용되지 않는다. (전체 허용된 면적은 1/2이다.)
위 그림에서 빨간 부분은 1-x-y 가 가장 긴 영역,
하늘색 부분은 y 가 가장 긴 영역,
노란색 부분은 x 가 가장 긴 영역이다.
각 영역을 고려하여 가장 긴 부분의 평균을 계산하자.
먼저 x=y라인을 기준으로 대칭임을 이용하여 x>y 인 경우만 계산하자.
또한, 확률 계산을 위해서는 전체 면적 1/2 으로 나누어 주어야 한다.
1. 1/(1/2)* \int_0^{1/3} dx \int_0^x dy (1-x-y) =2/27
2. 1/(1/2)*\int_{1/3}^{1/2} dx \int_0^{1-2x} dy (1-x-y) =1/36
3. 1/(1/2)*\int_{1/3}^{1/2} dx \int_{1-2x}^{x} dy x =1/27
4. 1/(1/2)*\int_{1/2}^1 dx \int_0^{1-x} dy x =1/6
따라서, 가장 긴 부분의 평균은
2*(2/27+1/36+1/27+1/6)=11/18.
이 얻어진다.
비슷하게 가장 짧은 부분에 대해서도 계산해 줄 수 있다.
이 보다 더 간단한 풀이가 있는지 모르겠다.
Let us consider two length (x,y) which divides the stick into three pieces
with length x and y and 1-x-y.
x and y are in range (0,1).
The above graph shows the region, (x,y) where
1. y is the longest (sky blue),
2. x is the longest (yellow)
3. 1-x-y is the longest (red)
4. excluded (blue)
Thus, the probability corresponds to the (each area)/(allowed area).
We can see (allowed area)=1/2.
The average length requires to compute \int_{area} dx dy (longest length) .
After some integration, we can show that the
average of longest length is 11/18.
However, I am sorry that I don't know the simple (smarter) explanation yet.
Here is a link for another solution.
http://www.cut-the-knot.org/m/Probability/RandomPointsOnSegment.shtml
http://math.stackexchange.com/questions/14190/average-length-of-the-longest-segment
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